一个重要权限的证明

这个权限是:

$ \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1 $

证明方法是用几何方法，这里学到了不少东西。

先看图:

{{< figure src="/images/sinx_x_circle.png" width="50%" title="sinx/x circle" >}}

证明:

做一个半径为 1 的圆，x 为该扇形的弧度，所以弧长 $\widehat{AB} = x, BO = AO = 1 $,

则:

$ sinx = \frac{BC}{BO} = BC $

由于:

$ sinx = \frac{AD}{DO} $ $ cosx = \frac{AO}{DO} = \frac{1}{DO} $

两式相除，得:

$ tanx = \frac{\frac{AD}{DO}}{\frac{1}{DO}} = AD $

三角形 AOB 的面积为:

$ S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2}BC \times AO = \frac{1}{2}BC \times 1 = \frac{1}{2}sinx $

扇形 AOB 的面积为:

$ S_{\widehat{AOB}} = \frac{1}{2}\widehat{AB} \times AO = \frac{1}{2}\widehat{AB} \times 1 = \frac{1}{2}x $

三角形 AOD 的面积为:

$ S_{\Delta AOD} = \frac{1}{2}AD \times AO = \frac{1}{2}AD \times 1 = \frac{1}{2}tanx $

从图中可以看出，

三角形 AOB 的面积 < 扇形 AOB 的面积 < 三角形 AOD 的面积

所以:

$ \frac{1}{2}sinx \lt \frac{1}{2}x \lt \frac{1}{2}tanx $

所以:

$ sinx \lt x \lt tanx $

都除以 sinx，得:

$ 1 \lt \frac{x}{sinx} \lt \frac{1}{cosx} $

取倒数，得:

$ cosx \lt \frac{sinx}{x} \lt 1 $

通过画图，容易得:

$ \lim_{x \to 0}cosx = 1$

$ \lim_{x \to 0}1 = 1 $

根据夹逼定理，得 $ \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1 $

证毕。