一个重要权限的证明

这个权限是:

$$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$$

证明方法是用几何方法，这里学到了不少东西。

先看图:

{{< figure src="/images/sinx_x_circle.png" width="50%" title="sinx/x circle" >}}

证明:

做一个半径为 1 的圆，x 为该扇形的弧度，所以弧长 $\widehat{AB} = x, BO = AO = 1$,

则:

$$sinx = \frac{BC}{BO} = BC$$

由于:

$$sinx = \frac{AD}{DO}$$ $$cosx = \frac{AO}{DO} = \frac{1}{DO}$$

两式相除，得:

$$tanx = \frac{\frac{AD}{DO}}{\frac{1}{DO}} = AD$$

三角形 AOB 的面积为:

$$S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2}BC \times AO = \frac{1}{2}BC \times 1 = \frac{1}{2}sinx$$

扇形 AOB 的面积为:

$$S_{\widehat{AOB}} = \frac{1}{2}\widehat{AB} \times AO = \frac{1}{2}\widehat{AB} \times 1 = \frac{1}{2}x$$

三角形 AOD 的面积为:

$$S_{\Delta AOD} = \frac{1}{2}AD \times AO = \frac{1}{2}AD \times 1 = \frac{1}{2}tanx$$

从图中可以看出，

三角形 AOB 的面积 < 扇形 AOB 的面积 < 三角形 AOD 的面积

所以:

$$\frac{1}{2}sinx \lt \frac{1}{2}x \lt \frac{1}{2}tanx$$

所以:

$$sinx \lt x \lt tanx$$

都除以 sinx，得:

$$1 \lt \frac{x}{sinx} \lt \frac{1}{cosx}$$

取倒数，得:

$$cosx \lt \frac{sinx}{x} \lt 1$$

通过画图，容易得:

$$\lim_{x \to 0}cosx = 1$$

$$\lim_{x \to 0}1 = 1$$

根据夹逼定理，得 $$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$$

证毕。